Giải mục 1 trang 61, 62, 63 Toán 9 tập 2 - Cánh diều: Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\)...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 61

Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\). Giả sử phương trình đó có 2 nghiệm là \({x_1},{x_2}.\) Tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\) theo các hệ số \(a,b,c.\)

Hướng dẫn giải :

Áp dụng công thức tính nghiệm để tính 2 nghiệm sau đó tìm tổng và tích 2 nghiệm đó.

Lời giải chi tiết :

Phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = \frac{{ - {b^2} + \sqrt \Delta }}{{2a}}\); \({x_2} = \frac{{ - {b^2} - \sqrt \Delta }}{{2a}}\).

\(\begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} + \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 2b}}{{2a}} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - ({b^2} - 4ac)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\end{array}\)

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 62

Cho phương trình \( - 4{x^2} + 9x + 1 = 0\).

a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}.\)

b) Tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\).

c) Tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\).

Hướng dẫn giải :

a) Chứng minh \(\Delta > 0\).

b) Áp dụng công thức tính nghiệm để tính 2 nghiệm sau đó tìm tổng và tích 2 nghiệm đó.

c) Biến đổi \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2}\), sau đó thay các giá trị phù hợp ở câu b vào biểu thức vừa biến đổi.

Lời giải chi tiết :

a) Phương trình có các hệ số: \(a = - 4;b = 9;c = 1\)

\(\Delta = {9^2} - 4.\left( { - 4} \right).1 = 97 > 0\)

Vì \(\Delta > 0\)nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt (đpcm).

b) Áp dụng Định lý Viète, ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 9}}{{ - 4}} = \frac{9}{4}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{{ - 4}} = \frac{{ - 1}}{4}\end{array}\)

c) Ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2}\) (1)

Thay \({x_1} + {x_2} = \frac{9}{4},{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 1}}{4}\) vào (1) ta được:

\({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = {\left( {\frac{9}{4}} \right)^2} - 2.\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right) = \frac{{11}}{4}\)

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 63

Giải phương trình \(4{x^2} - 7x + 3 = 0\).

Hướng dẫn giải :

Kiểm tra xem có phải trường hợp nhẩm được nghiệm hay không (\(a + b + c = 0\) hoặc \(a - b + c = 0\)).

Lời giải chi tiết :

Phương trình có các hệ số \(a = 4;b = - 7;c = 3\).

Ta thấy: \(a + b + c = 4 - 7 + 3 = 0\) nên phương trình có nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = \frac{3}{4}\)

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 63

Giải phương trình \(2{x^2} - 9x - 11 = 0\).

Hướng dẫn giải :

Kiểm tra xem có phải trường hợp nhẩm được nghiệm hay không (\(a + b + c = 0\) hoặc \(a - b + c = 0\)).

Lời giải chi tiết :

Phương trình có các hệ số \(a = 2;b = - 9;c = - 11.\)

Ta thấy \(a - b + c = 2 - ( - 9) - 11 = 0\) nên phương trình có nghiệm là \({x_1} = - 1,{x_2} = \frac{{ - ( - 11)}}{2} = \frac{{11}}{2}.\)