Bài 42 trang 76 SBT Toán 8 – Cánh diều: Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) có \(AB = 3AC\) và điểm \(D\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(AD...

Đề bài :

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) có \(AB = 3AC\) và điểm \(D\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(AD = 2DB\). Chứng minh: \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 45^\circ \).

Hướng dẫn giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\). Đặt \(AE = x,AC = x\).

Có \(AE = ED = DB,AB = 3AC\) nên \(ED = x,EB = 2x\) và \(CE = x\sqrt 2 \).

Xét hai tam giác \(EDC\) và \(ECB\), ta có: \(\widehat {CED} = \widehat {CEB}\) và \(\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{EC}}{{EB}}\)

\(=>\Delta EDC\backsim \Delta ECB\). Do đó \(\widehat {ECD} = \widehat {CEB}\).

Vì vậy \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = \widehat {EDC} + \widehat {ECD} = \widehat {AEC}\).

Mặt khác, do tam giác \(AEC\) là tam giác vuông cân nên \(\widehat {AEC} = 45^\circ \).

Vậy \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 45^\circ \).