Bài 11 trang 92 SBT Toán 8 - Cánh diều: Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat C = \widehat D\) và \(AD = BC\)...

Đề bài :

Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat C = \widehat D\) và \(AD = BC\). Chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân.

Hướng dẫn giải :

Dựa vào tính chất của hình thang cân:

Trong một hình thang cân

- Hai cạnh bên bằng nhau

- Hai đường chéo bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\)

Do \(\widehat C = \widehat D\) nên tam giác \(ICD\) cân tại \(I\). Suy ra \(ID = IC\)

Mà \(AD = BC\), suy ra \(IA = IB\). Do đó, tam giác \(IAB\) cân tại \(I\).

Vì hai tam giác \(IAB\) và \(ICD\) đều cân tại \(I\) nên

\(\widehat {IAB} = \widehat D\) (cùng bằng \(\frac{{180^\circ - \widehat I}}{2}\))

Mà \(\widehat {IAB}\) và \(\widehat D\) nằm ở vị trí đồng vị, suy ra \(AB//CD\)

Tứ giác \(ABCD\) có \(AB//CD\) và \(\widehat C = \widehat D\) nên \(ABCD\) là hình thang cân.