Bài 20 trang 79 SBT Toán 8 - Cánh diều: Cho hai hình chóp tam giác đều \(S. ABC\) và \(S’...

Đề bài :

Cho hai hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) và \(S’.A’B’C’\) lần lượt có độ dài cạnh đáy là \(a\) và \(a’\), độ dài trung đoạn là \(d\) và \(d’\). Tính tỉ số giữa \(d\) và \(d’\), biết diện tích xung quanh của \(S.ABC\) gấp \(k\) lần diện tích xung quanh của \(S’.A’B’C’\left( {k \ne 0} \right)\) và \(a = 2a’\). Biết rằng \(a,a’,d,d’\) cùng đơn vị đo.

Hướng dẫn giải :

Áp dụng công thức \({S_{xq}} = \frac{1}{2}.C.d\), trong đó \({S_{xq}}\) là diện tích xung quanh, \(C\) là chu vi đáy, \(d\) là độ dài trung đoạn của hình chóp tam giác đều.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \({S_{xq}} = \frac{1}{2}.C.d\), ta có:

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

\(\frac{1}{2}.\left( {3a} \right).d = \frac{1}{2}.3.2a’.d = 3a’d\)

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S’.A’B’C’\) là:

\(\frac{1}{2}.\left( {3a’} \right).d’ = \frac{3}{2}a’d’\)

Do diện tích xung quanh của \(S.ABC\) gấp \(k\) lần diện tích xung quanh của \(S’.A’B’C’\) nên \(3a’d = k.\frac{3}{2}a’d’\). Suy ra \(\frac{d}{{d’}} = \frac{k}{2}\).

Vậy tỉ số giữa \(d\) và \(d’\) là \(\frac{k}{2}\).