Bài 10 trang 36 SBT Toán 8 - Cánh diều: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức...

Đề bài :

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

a) \(A = x + 1 - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}}\) tại \(x = - 4\)

b) \(B = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 25}}\) tại \(x = 99\)

c) \(C = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}}\) tại \(x = 0,7\)

d) \(D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\) tại \(\frac{1}{{23}}\)

Hướng dẫn giải :

Muốn rút gọn hai phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1: phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)

Bước 2: tìm nhân tử chung của 2 phân thức rồi quy đồng.

Bước 3: thực hiện rút gọn sau đó tính giá trị của phân thức đã rút gọn

Lời giải chi tiết :

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = A = x + 1 - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - 1 - \left( {{x^2} - 4} \right)}}{{x - 1}}\\ = \frac{{{x^2} - 1 - {x^2} + 4}}{{x - 1}} = \frac{3}{{x - 1}}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x = - 4\) là: \(\frac{3}{{ - 4 - 1}} = \frac{{ - 3}}{5}\)

b) Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ne \pm 5\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 25}} = \frac{{ - 1}}{{x - 5}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{ - 1\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{ - 1\left( {x + 5} \right) - {x^2} - 5x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{ - x - 5 - {x^2} - 5x}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{ - \left( {x + 5} \right) - \left( {{x^2} + 5x} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{ - \left( {x + 5} \right) - x\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{\left( { - 1 - x} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{ - 1 - x}}{{x - 5}}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(B\) tại \(x = 99\) là: \(\frac{{ - 1 - 99}}{{99 - 5}} = \frac{{ - 50}}{{47}}\)

c) Ta có: \({x^3} - {x^2} + x - 1 = \left( {{x^3} - {x^2}} \right) + \left( {x - 1} \right) = {x^2}\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(C\) là: \(x \ne 1\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}C = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}} = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 1 - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(C\) tại \(x = 0,7\) là: \(\frac{{0,7 - 1}}{{0,{7^2} + 1}} = \frac{{ - 30}}{{149}}\)

d) Điều kiện xác định của biểu thức \(D\) là: \(x \ne 0;x \ne - 1;x \ne - 2\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\\ = \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right) + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{x}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = \frac{1}{{23}}\) là: \(\frac{1}{{\frac{1}{{23}}}} = 23\)