Bài 6 trang 34 SBT Toán 8 - Cánh diều: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau...

Đề bài :

Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\frac{2}{{15{x^3}{y^2}}};\frac{y}{{10{x^4}{z^3}}}\) và \(\frac{x}{{20{y^3}z}}\)

b) \(\frac{x}{{2x + 6}}\) và \(\frac{4}{{{x^2} - 9}}\)

c) \(\frac{{2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\frac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

d) \(\frac{x}{{1 + 2x + {x^2}}}\) và \(\frac{3}{{5{x^2} - 5}}\)

Hướng dẫn giải :

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1: phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) rồi tìm mẫu thức chung (MTC)

Bước 2: tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu)

Bước 3: nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

Chọn MTC là: \(60{x^4}{y^3}{z^3}\).

Nhân tử phụ của ba mẫu thức \(15{x^3}{y^2};10{x^4}{z^3};20{y^3}z\) lần lượt là: \(4xy{z^3};6{y^3};3{x^4}{z^2}\)

Vậy: \(\frac{2}{{15{x^3}{y^2}}} = \frac{{2\left( {4xy{z^3}} \right)}}{{15{x^3}{y^2}.4xy{z^3}}} = \frac{{8xy{z^3}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}\)

\(\frac{y}{{10{x^4}{z^3}}} = \frac{{y.6{y^3}}}{{10{x^4}{z^3}}} = \frac{{6{y^4}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}\)

\(\frac{x}{{20{y^3}z}} = \frac{{x.3{x^4}{z^2}}}{{20{y^3}z.3{x^4}{z^2}}} = \frac{{3{x^5}{z^2}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}\)

b) Ta có: \(2x + 6 = 2\left( {x + 3} \right);{x^2} - 9 = \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\)

Chọn MTC là: \(2\left( {{x^2} - 9} \right)\)

Nhân tử phụ của hai mẫu thức \(2x + 6;{x^2} - 9\) lần lượt là \(\left( {x - 3} \right);2\)

Vậy: \(\frac{x}{{2x + 6}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{2\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{{x^2} - 3x}}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}}\)

\(\frac{4}{{{x^2} - 9}} = \frac{{4.2}}{{2\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{8}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}}\)

c) Ta có: \({x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\)

Chọn MTC là: \({x^3} - 1\)

Nhân tử phụ của hai mẫu thức \({x^3} - 1;{x^2} + x + 1\) lần lượt là: \(1;\left( {x - 1} \right)\)

Vậy: \(\frac{{2x}}{{{x^3} - 1}}\)

\(\frac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^3} - 1}}\)

d) Ta có: \(1 + 2x + {x^2} = {\left( {x + 1} \right)^2};5{x^2} - 5 = 5\left( {{x^2} - 1} \right) = 5\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

Chọn MTC là: \(5\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\)

Nhân tử phụ của hai mẫu thức \(1 + 2x + {x^2};5{x^2} - 5\) lần lượt là: \(5\left( {x - 1} \right);x + 1\)

Vậy: \(\frac{x}{{1 + 2x + {x^2}}} = \frac{{x.5.\left( {x - 1} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{5x\left( {x - 1} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(\frac{3}{{5{x^2} - 5}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)