Bài 2 trang 108 Toán 8 tập 1 - Cánh diều: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G...

Đề bài :

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành.

Hướng dẫn giải :

Chứng minh tứ giác PQMN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Lời giải chi tiết :

\(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm của tam giác.

\( \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BM;GM = \dfrac{1}{3}BM\left( 1 \right)\)

Mà: \(PG = \dfrac{1}{2}BG = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}BM = \dfrac{1}{3}BM\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra GM = PG

Chứng minh tương tự ta cũng có QG = GN

Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành