Bài 41 trang 81 SBT Toán 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và ˆA=60°.A^=60°.Tia phân giác của góc ABC cắt A...

Đề bài :

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và ˆA=60°.A^=60°.Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D, tia phân giác của góc ACB cắt AB tại E. BD cắt CE tại I. Tia phân giác của góc BIC cắt BC tại F. Chứng minh:

a) \(\widehat {BIC} = 120^\circ \)

b) ∆BEI = ∆BFI;

c) BC = BE + CD.

Phương pháp giải :

- Dựa tính chất tia phân giác của một góc và tổng ba góc trong một tam giác để chứng minh \(\widehat {BIC} = 120^\circ \)

- Xét các điều kiện về cạnh, về góc để chứng minh ∆BEI = ∆BFI (g – c – g)

- Từ các tam giác bằng nhau suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau dẫn tới chứng minh BC = BE + CD.

Lời giải chi tiết :

a) Vì BD là phân giác của góc ABC nên \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\)

Vì CE là phân giác của góc ACB nên \(\widehat {ACE} = \widehat {ECB} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\)

Xét ∆ABC có: \(\hat A + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra\(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ  - \hat A = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \)

Xét ∆IBC có: \(\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Hay \(\widehat {BIC} + \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BIC} = 180^\circ  - \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2} = 180^\circ  - \frac{{120^\circ }}{2} = 120^\circ \)

 Vậy \(\widehat {BIC} = 120^\circ .\)

b) Vì IF là phân giác của góc BIC nên \(\widehat {BIF} = \widehat {CIF} = \frac{{\widehat {BIC}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \)

 Ta có \(\widehat {BIC} + \widehat {BIE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {BIE} = 180^\circ  - \widehat {BIC} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ \)

Xét ∆BEI và ∆BFI có:

\(\widehat {EBI} = \widehat {FBI}\) (chứng minh câu a),

BI là cạnh chung,

\(\widehat {EIB} = \widehat {FIB}\) (cùng bằng 60°),

Do đó ∆BEI = ∆BFI (g.c.g).

Vậy ∆BEI = ∆BFI.

c) Do ∆BEI = ∆BFI (câu b) nên BE = BF (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(\widehat {BIC} + \widehat {CID} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {CID} = 180^\circ  - \widehat {BIC} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ \)

Xét ∆CFI và ∆CDI có:

\(\widehat {FCI} = \widehat {DCI}\) (chứng minh câu a),

CI là cạnh chung,

\(\widehat {CIF} = \widehat {CID}\) (cùng bằng 60°),

Suy ra ∆CFI = ∆CDI (g.c.g).

Do đó CF = CD (hai cạnh tương ứng).

Ta có: BC = BF + FC = BE + CD.

Vậy BC = BE + CD.