Bài 56 trang 85 SBT Toán lớp 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là...

Đề bài :

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:

a) \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)

b) CN = MA;

c) Nếu a song song với BC thì MA = AN.

Phương pháp giải :

- Sử dụng tổng ba góc trong một tam giác để chứng minh \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)

- Chứng minh: \(\Delta MAB = \Delta NCA\) suy ra MA = NC

- Chứng minh: Nếu a // BC suy ra MA = MB (1)

Nếu a // BC suy ra CN = AN (2)

Từ (1), (2) và câu a) suy ra MA = AN.

Lời giải chi tiết :

a) Xét ∆MAB vuông tại M có: \(\widehat {ABM} + \widehat {MAB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90^o).

Ta có \(\widehat {MAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAN} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {MAB} + \widehat {CAN} = 180^\circ  - \widehat {BAC} = 90^\circ \)

Lại có \(\widehat {ABM} + \widehat {MAB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)

Vậy \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)

b) Xét ∆MAB và ∆NCA có:

\(\widehat {BMA} = \widehat {ANC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),

\(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\) (chứng minh câu a).

Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).

Vậy MA = NC.

c) Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\)

 Lại có \(\widehat {ACB} + \widehat {ABC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của tam giác ABC)

Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC} = \frac{{180^\circ  - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

• Nếu a // BC thì \(\widehat {MAB} = \widehat {ABC}\) (hai góc so le trong).

Do đó \(\widehat {MAB} = 45^\circ \)

Xét ∆ABM có \(\widehat {AMB} + \widehat {MBA} + \widehat {MAB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \(\widehat {MBA} = 180^\circ  - \widehat {AMB} - \widehat {MAB} = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ \)

Do đó \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA}\) (cùng bằng 45°).

Xét ∆AMB có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) và \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA}\) nên ∆AMB vuông cân tại M.

Suy ra MA = MB (1)

• Nếu a // BC thì \(\widehat {CAN} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (hai góc so le trong)

Xét ∆ABM có \(\widehat {ACN} + \widehat {ANC} + \widehat {CAN} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \(\widehat {ACN} = 180^\circ  - \widehat {ANC} - \widehat {CAN} = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ \)

 Do đó \(\widehat {ACN} = \widehat {CAN}\) (cùng bằng 45°).

Xét ∆ANC có \(\widehat {ANC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACN} = \widehat {CAN}\) nên ∆ANC vuông cân tại N.

Suy ra CN = AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.

Vậy MA = AN.