Bài tập 6 trang 12 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng \(x\) năm...

Đề bài :

Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triểun với tốc độ \(h’\left( x \right) = \frac{1}{x}\) (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Hướng dẫn giải :

a) Chiều cao của cây sau \(x\) năm là \(h\left( x \right) = \int {h’\left( x \right)dx} \). Chúng ta nguyên hàm hàm số \(h’\left( x \right)\) để tìm \(h\left( x \right)\), sau đó sử dụng dữ kiện “sau năm đầu tiên cây cao 2 m” để tìm hằng số \(C\).

b) Để xác định sau bao nhiêu năm cây cao 3 m, ta giải phương trình \(h\left( x \right) = 3\).

Lời giải chi tiết :

a) Chiều cao của cây sau \(x\) năm là

\(h\left( x \right) = \int {h’\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C = \ln x + C\) (do \(1 \le x \le 11\)).

Sau năm đầu tiên, cây cao 2 m, do đó ta có \(h\left( 1 \right) = 2\).

Suy ra \(\ln 1 + C = 2 \Rightarrow 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2\).

Vậy chiều cao của cây sau \(x\) năm là \(h\left( x \right) = \ln x + 2\) (m).

b) Để xác định sau bao nhiêu năm cây cao 3 m, ta giải phương trình \(h\left( x \right) = 3\).

Ta có \(h\left( x \right) = 3 \Rightarrow \ln x + 2 = 3 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e \approx 2,72\).

Vậy sau khoảng \(2,72\) năm thì cây cao 3 m.