Bài tập 3 trang 11 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}}...

Đề bài :

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C} \) để tìm \(F\left( x \right)\), sau đó dùng điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\) để xác định hằng số \(C\).

Lời giải chi tiết :

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C\),

Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\) nên \( - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 1 \Rightarrow 0 + C = 1 \Rightarrow C = 1\).

Vậy \(F\left( x \right) = - \cot x + 1\) là hàm số cần tìm.