Trang chủ Lớp 12 SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân Câu hỏi Khám phá 1 trang 12 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = x + 1\). Với mỗi \(x \ge 1\)...

Câu hỏi Khám phá 1 trang 12 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = x + 1\). Với mỗi \(x \ge 1\)...

Gọi các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là các đỉnh của hình thang như hình vẽ. Giải chi tiết Câu hỏi Khám phá 1 trang 12 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo - Bài 2. Tích phân.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = x + 1\). Với mỗi \(x \ge 1\), kí hiệu \(S\left( x \right)\) là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với \(Ox\) tại các điểm có hoành độ 1 và \(x\).

image

a) Tính \(S\left( 3 \right)\).

b) Tính \(S\left( x \right)\) với mỗi \(x \ge 1\).

c) Tính \(S’\left( x \right)\). Từ đó suy ra \(S\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

d) Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). Chứng tỏ rằng \(F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) = S\left( 3 \right)\). Từ đó nhận xét về cách tính \(S\left( 3 \right)\) khi biết một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

Hướng dẫn giải :

a, b) Gọi các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là các đỉnh của hình thang như hình vẽ. Tính độ dài các cạnh \(AD\), \(BC\) và \(AB\), rồi sử dụng công thức tính diện tích hình thang \({S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2}\) để tính \(S\left( 3 \right)\) ở câu a và \(S\left( x \right)\) ở câu b.

c) Sử dụng công thức đạo hàm để tính \(S’\left( x \right)\) và kết luận.

d) Tính nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), sau đó tính \(F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right)\), so sánh với \(S\left( 3 \right)\)

Lời giải chi tiết :

image

a) Gọi các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là các đỉnh của hình thang như hình vẽ. Dễ thấy rằng \(ABCD\) là hình thang vuông có hai đáy là \(AD\) và \(BC\), chiều cao là \(AB\).

Ta có \(AB = 3 - 1 = 2\), \(AD = 2\) và \(BC = 4\). Do đó diện tích hình thang \(ABCD\) là:

\(S\left( 3 \right) = \frac{{\left( {2 + 4} \right).2}}{2} = 6\).

b) Tương tự câu a, nhưng hoành độ của \(B\) là \(x\), ta suy ra tung độ của \(C\) là \(x + 1\).

Ta có \(AB = x - 1\), \(AD = 2\), \(BC = x + 1\). Do đó diện tích hình thang \(ABCD\) là:

\(S\left( x \right) = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {2 + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{2}\)

c) Ta có \(S’\left( x \right) = \frac{{2x + 2}}{2} = x + 1 = f\left( x \right)\). Vậy \(S\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

d) Do \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), ta có:

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 1} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + x + C\)

Suy ra \(F\left( 3 \right) = \frac{{{3^2}}}{2} + 3 + C = \frac{{15}}{2} + C\) và \(F\left( 1 \right) = \frac{{{1^2}}}{2} + 1 + C = \frac{3}{2} + C\)

Như vậy ta có \(F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) = \left( {\frac{{15}}{2} + C} \right) - \left( {\frac{3}{2} + C} \right) = 6 = S\left( 3 \right)\).

Do đó, để tính \(S\left( 3 \right)\) khi biết một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), ta thực hiện tính nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của \(f\left( x \right)\), sau đó ta tính \(F\left( 3 \right)\) và \(F\left( 1 \right)\), từ đó tính được \(S\left( 3 \right) = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right)\).

Dụng cụ học tập

Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.

Chia sẻ

Chia sẻ qua Facebook Chia sẻ

Sách Giáo Khoa: Chân trời sáng tạo

- CHÂN TRỜI SÁNG TẠO là bộ sách giáo khoa hiện đại.

- Bộ sách giáo khoa CHÂN TRỜI SÁNG TẠO sẽ truyền cảm hứng để giúp các em học sinh phát triển toàn diện về tư duy, phẩm chất và năng lực, giúp người học dễ dàng vận dụng kiến thức, kĩ năng vào thực tiễn cuộc sống; giải quyết một cách linh hoạt, hài hoà các vấn đề giữa cá nhân và cộng đồng; nhận biết các giá trị bản thân và năng lực nghề nghiệp mà còn nuôi dưỡng lòng tự hào, tình yêu tha thiết với quê hương đất nước, mong muốn được góp sức xây dựng non sông này tươi đẹp hơn.

Đọc sách

Bạn có biết?

Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối của thời học sinh, với nhiều kỳ vọng và áp lực. Đừng quá lo lắng, hãy tự tin và cố gắng hết sức mình. Thành công sẽ đến với những ai nỗ lực không ngừng!

- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.

Nguồn : Sưu tập

Copyright © 2024 Giai BT SGK