Câu hỏi Vận dụng 3 trang 19 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Biết rằng tốc độ \(v\) (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian \(t\) (phút) như sau...

Biết rằng tốc độ \(v\) (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian \(t\) (phút) như sau: \(v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,5t{\rm{ }}\left( {0 \le t \le 2} \right)}\\{{\rm{ }}1{\rm{ }}\left( {2 \le t < 15} \right)}\\{4 - 0,2t{\rm{ }}\left( {15 \le t \le 20} \right)}\end{array}} \right.\). Tính quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút.

Hướng dẫn giải :

Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường ca nô đi được đến thời điểm \(t\) (phút).

Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là \(s\left( {20} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt} \).Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) của tích phân để tính \(\int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt} \).

Lời giải chi tiết :

Gọi \(s\left( t \right)\) (km) là quãng đường ca nô đi được đến thời điểm \(t\) (phút).

Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là \(s\left( {20} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)dt} + \int\limits_2^{15} {v\left( t \right)dt} + \int\limits_{15}^{20} {v\left( t \right)dt} \)

\( = \int\limits_0^2 {0,5tdt} + \int\limits_2^{15} {dt} + \int\limits_{15}^{20} {\left( {4 - 0,2t} \right)dt} = 0,5\left. {\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( t \right)} \right|_2^{15} + \left. {\left( {4t - 0,1{t^2}} \right)} \right|_{15}^{20}\)

\(0,5\left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) + \left( {15 - 2} \right) + \left[ {\left( {4.20 - 0,{{1.20}^2}} \right) - \left( {4.15 - 0,{{1.15}^2}} \right)} \right] = 16,5\) (km)