Câu hỏi Vận dụng 2 trang 18 Toán 12 Chân trời sáng tạo: câu hỏi Vận dụng 2 trang 18 Toán 12 Thực hành Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón...

Thực hành

Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi \(P\left( x \right)\) là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán \(x\) tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm \(P’\left( x \right)\) gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức \(P’\left( x \right) = 16 - 0,02x\) với \(0 \le x \le 100\). Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.

Hướng dẫn giải :

Ta có \(P\left( x \right) = \int {P’\left( x \right)dx} \).

Do nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần, nên ta có \(P\left( 0 \right) = - 25\). Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm là \(P\left( {90} \right) = \left[ {P\left( {90} \right) - P\left( 0 \right)} \right] + P\left( 0 \right) = \int\limits_0^{90} {P’\left( x \right)dx} + P\left( 0 \right)\).

Lời giải chi tiết :

Do nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần, nên ta có \(P\left( 0 \right) = - 25\).

Lợi nhuận khi nhà máy bán 90 tân sản phẩm là:

\(P\left( {90} \right) = \left[ {P\left( {90} \right) - P\left( 0 \right)} \right] + P\left( 0 \right) = \int\limits_0^{90} {P’\left( x \right)dx} + P\left( 0 \right) = \int\limits_0^{90} {\left( {16 - 0,02x} \right)dx} - 25\)

\( = \left( {16\int\limits_0^{90} {dx} - 0,02\int\limits_0^{90} {xdx} } \right) - 25 = 16\left. {\left( x \right)} \right|_0^{90} - 0,02\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{90} = 16\left( {90 - 0} \right) - 0,02\left( {\frac{{{{90}^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) = 1359\) (triệu đồng)