Giải mục 2 trang 16, 17, 18 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 16

Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số

\(f(x) = \frac{1}{2}{x^2}\); \(g(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;neu\;x \le 2\;\\ - 4x + 10\;\;\;\;neu\;x \ge 2\end{array} \right.\) và \(h(x) = 3 - \frac{1}{2}{x^2}\) trên đoạn [-1;3]

a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?

b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?

Hướng dẫn giải :

Quan sát đồ thị và chỉ ra điểm cực đại và giá trị lớn nhất của 3 hàm số

Lời giải chi tiết :

a) \(h(x)\)đạt giá trị cực đại tại x = 0 và \(\mathop {\max h(x)}\limits_{[ - 1;3]} = h(0) = 3\)

b) \(\mathop {\max f(x)}\limits_{[ - 1;3]} = f(3) = \frac{9}{2}\) và \(\mathop {\max g(x)}\limits_{[ - 1;3]} = g(2) = 2\)

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 18

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]

Hướng dẫn giải :

Tìm đạo hàm g’(x), lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lời giải chi tiết :

Xét \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]

\(g'(x) = 1 - \frac{8}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[1;4]} g(x) = g(2) = 3\) và \(\mathop {\max }\limits_{[1;4]} g(x) = g(1) = 5\)

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 18

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải :

Tìm hệ thức liên hệ giữa các cạnh, từ đó suy ra hàm số của diện tích tam giác vuông. Sau đó tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất của hàm số

Lời giải chi tiết :

Đặt một cạnh góc vuông là x (x > 0) thì cạnh còn lại là \(\sqrt {5 - {x^2}} \)

Diện tích tam giác vuông là: \(f(x) = x\sqrt {5 - {x^2}} \)

Tập xác định: \(D = (0;\sqrt 5 ]\)

\(f'(x) = \sqrt {5 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {5 - {x^2}} }}\)

Tập xác định mới: \({D_1} = (0;\sqrt 5 )\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\\x = - \frac{{\sqrt {10} }}{2}(loai)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(\frac{{\sqrt {10} }}{2}) = \frac{5}{2}\)

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là \(\frac{5}{2}\)