Bài 14 trang 38 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính...

Đề bài :

Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b

a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là: \(r = \frac{{5(12 - h)}}{{12}}\)

b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h: \(V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\)

c) Tìm h để khối trụ có thể tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải :

a) Từ hình vẽ, tìm mối liên hệ giữa r và h thông qua các công thức tính diện tích, thể tích,….

b) Thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h\)

c) Lập bảng biến thiên và quan sát

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(rh = \frac{1}{2}.12.5 - \frac{1}{2}.h(5 - r) - \frac{1}{2}(12 - h).r = \frac{{60 - 5h + rh - 12r + rh}}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2rh = 60 - 5h + 2rh - 12r \Leftrightarrow 12r = 60 - 5h \Leftrightarrow r = \frac{{5(12 - h)}}{{12}}\)

b) Thể tích khối trụ là: \(V(h) = \pi {r^2}h = \pi .\frac{{{5^2}{{(12 - h)}^2}}}{{{{12}^2}}}h = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\)

c) \(V'(h) = \frac{{75\pi {h^2} - 1200\pi h + 3600\pi }}{{144}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 4\\h = 12\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} V(h) = V(4) = \frac{{400\pi }}{9}\)

Vậy để khối trụ có thể tích lớn nhất thì h = 4cm