Bài 2 trang 99 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Một túi chứa 2 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng có cùng kích thước...

Đề bài :

Một túi chứa 2 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra ngẫu nhiên 3 viên bi từ túi. Tính xác suất của các biến cố:

a) “Cả 3 viên bi lấy ra đều có cùng màu”;

b) “Có không quá 1 viên bi xanh trong 3 viên bi lấy ra”;

c) “Có đúng hai màu trong 3 viên bi lấy ra”.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về quy tắc cộng hai biến cố xung khắc: Cho hai biến cố xung khắc A và B. Khi đó, \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Lời giải chi tiết :

a) Xác suất để lấy ra cả 3 viên bi đều có màu đỏ là: \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{{12}}\)

Xác suất để lấy ra cả 3 viên bi đều có màu vàng là: \(P\left( B \right) = \frac{{C_3^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{{120}}\)

Xác suất của biến cố: “Cả 3 viên bi lấy ra đều có cùng màu” là:

\(P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{120}} = \frac{{11}}{{120}}\)

b) Xác suất để lấy ra 3 viên bi có 1 viên bi xanh là: \(P\left( A \right) = \frac{{C_2^1.C_8^2}}{{C_{10}^3}} = \frac{7}{{15}}\)

Xác suất để lấy ra 3 viên bi mà không có viên bi xanh là: \(P\left( B \right) = \frac{{C_8^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{7}{{15}}\)

Xác suất của biến cố: “Có không quá 1 viên bi xanh trong 3 viên bi lấy ra” là:

\(P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{7}{{15}} + \frac{7}{{15}} = \frac{{14}}{{15}}\)

c) Gọi A là biến cố: “Có đúng hai màu trong 3 viên bi lấy ra”.

Biến cố B là biến cố: “Cả 3 bi lấy ra đều có cùng màu”

Biến cố C là biến cố: “Cả 3 bi lấy ra đều có đủ 3 màu”

Khi đó, biến cố đối của biến cố A là biến cố \(B \cup C\)

Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{11}}{{120}}\) (theo kết quả phần a)

Xác suất của biến cố C là: \(P\left( C \right) = \frac{{C_2^1.C_5^1.C_3^1}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{4}\)

Do đó, \(P\left( {\overline A } \right) = P\left( {B \cup C} \right) = P\left( B \right) + P\left( C \right) = \frac{{11}}{{120}} + \frac{1}{4} = \frac{{41}}{{120}}\)

Do đó, \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{79}}{{120}}\).