Bài 3 trang 61 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)...

Đề bài :

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\).

a) Chứng minh rằng \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng \(\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết :

a) Vì tam giác vuông cân tại B nên \(AB \bot BC\)

Lại có: \(SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)

Do đó, \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), mà \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\)

b) Vì tam giác vuông cân tại B nên BM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, \(BM \bot AC\)

Lại có: \(SA \bot \left( {ABC} \right),BM \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BM\)

Do đó, \(BM \bot \left( {SAC} \right)\), mà \(BM \subset \left( {SBM} \right) \Rightarrow \left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)