Bài 1 trang 68 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy...

Đề bài :

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính: Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn thẳng MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến (P), kí hiệu d(M; (P)).

Lời giải chi tiết :

Gọi E là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên AE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(AE \bot BC\)

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\), mà \(AE \bot BC\). Suy ra: \(BC \bot \left( {SAE} \right)\)

Kẻ \(AF \bot SE\left( {S \in SE} \right)\). Vì \(BC \bot \left( {SAE} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AF\)

Ta có: \(BC \bot AF,AF \bot SE,\) BC và SE cắt nhau tại E và nằm trong mặt phẳng (SBC) nên \(AF \bot \left( {SBC} \right)\). Khi đó, AF là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Vì tam giác ABC đều nên \(\widehat {ABC} = {60^0}\).

Tam giác ABE vuông tại E có: \(AE = AB.\sin \widehat {ABC} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right),AE \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AE\)

Tam giác AES vuông tại A, có AF là đường cao nên:

\(\frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow AF = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)