Bài 2 trang 117 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB...

Đề bài :

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\); I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD.

a) Chứng minh rằng MN//BC.

b) Tứ giác MNJI là hình gì. Tìm điều kiện để tứ giác MNJI là hình bình hành.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song để chứng minh: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Lời giải chi tiết :

a) Tam giác ABC có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) nên MN//BC (định lý Thalès đảo)

b) Vì I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD. Do đó, IJ//BC

Mà MN//BC nên IJ//MN, do đó, MNJI là hình thang.

Hình thang MNJI là hình bình hành khi và chỉ khi MI//NJ//AD.

Mà I là trung điểm của BD. Do đó, MI là đường trung bình của tam giác ADB.

Suy ra M là trung điểm của AB.