Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Chân trời sáng tạo: Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Giả sử u = u(x)...

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định. Khi đó

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {u + v} \right)}^\prime } = u’ + v’;}\\{{{\left( {u - v} \right)}^\prime } = u’ - v’;}\\{{{\left( {uv} \right)}^\prime } = u’v + uv’;}\\{{{\left( {\frac{u}{v}} \right)}^\prime } = \frac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right);}\end{array}\)

\(\left( {C.v} \right)’ = C.v’\) (C là hằng số);

\(\left( {\frac{1}{v}} \right)’ = - \frac{{v’}}{{{v^2}}}\left( {v \ne 0} \right)\).

2. Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là \(u{‘_x}\) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại y là \(y{‘_u}\) thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là \(y{‘_x} = y{‘_u}.u{‘_x}\).

3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp

4. Đạo hàm cấp hai

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì ta có hàm số \(y’ = f’\left( x \right)\) xác định trên (a; b).

Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y” hoặc f”(x).

\(f”\left( x \right) = \left( {f’\left( x \right)} \right)’\).

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời tại thời điểm t của vân chuyển động có phương trình \(s = f\left( t \right)\).