Bài 6 trang 103 SBT toán 10 Chân trời sáng tạo: Lớp học của hai bạn Hà và Giang có 32 học sinh. Cô giáo chia các bạn vào 4 tổ, mỗi t...

Đề bài :

Lớp học của hai bạn Hà và Giang có 32 học sinh. Cô giáo chia các bạn vào 4 tổ, mỗi tổ có 8 học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất của các biến cố “Hà và Giang được xếp ở hai tổ khác nhau”

Phương pháp giải :

Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu \(P\left( A \right)\) được xác định bởi công thức: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\), trong đó \(n\left( A \right)\) và \(n\left( \Omega  \right)\) lần lượt là kí hiệu số phần tử của tập A và \(\Omega \)

Biến cố đối của biến cố A là biến cố không xảy ra A, kí hiệu là \(\overline A \) và \(P\left( {\overline A } \right) + P\left( A \right) = 1\)

Lời giải chi tiết :

+ Việc chia tổ thực hiện qua 4 công đoạn

Công đoạn 1: Lấy 8 bạn trong 32 bạn, có \(C_{32}^8\) cách

Công đoạn 2: Lấy 8 bạn trong 24 bạn còn lại, có \(C_{24}^8\) cách

Công đoạn 3: Lấy 8 bạn trong 16 bạn còn lại, có \(C_{16}^8\) cách

Công đoạn 4: Lấy 8 bạn còn lại thành một tổ, có 1 cách

\( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = C_{32}^8.C_{24}^8.C_{16}^8\)

+ Gọi A: “Hà và Giang được xếp ở hai tổ khác nhau”

 \(\overline A \): “Hà và Giang được xếp ở cùng một tổ”

Việc thực hiện chia tổ sao cho “Hà và Giang được xếp ở cùng một tổ” được thực hiện qua 4 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 1 trong 4 tổ làm tổ có Hà và Giang, có \(C_4^1\) cách

Công đoạn 2: Lấy 6 bạn trong 30 bạn còn lại để tạo thành tổ với Hà và Giang, có \(C_{30}^6\) cách

Công đoạn 3: Lấy 8 bạn trong 24 bạn còn lại, có \(C_{24}^8\) cách

Công đoạn 4: Lấy 8 bạn trong 16 bạn còn lại, có \(C_{16}^8\) cách. 8 bạn còn lại thành một tổ.

\( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_4^1.C_{30}^6.C_{24}^8.C_{16}^8\)

Xác suất để Hà và Giang được xếp ở cùng tổ: \( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{4C_{30}^6.C_{24}^8.C_{16}^8}}{{C_{32}^8.C_{24}^8.C_{16}^8}} = \frac{7}{{31}}\)

\( \Rightarrow P(A) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{7}{{31}} = \frac{{24}}{{31}}\)