Bài 3 trang 97 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo: Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:...

Đề bài :

Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \)

b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \)

Lời giải chi tiết :

a) 

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) = 2\overrightarrow {MI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) = 2\overrightarrow {MI} \)    (đpcm)

(I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)

b)

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right)\\ = 3\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \end{array}\) (đpcm)

(G là trọng tâm của ABC  nên \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \))