Bài 3 trang 78 Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC có (a = 8,b = 10,c = 13.) Tính các góc (widehat A,widehat B,w...

Cho tam giác ABC có \(a = 8,b = 10,c = 13.\) Tính các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C.\)

LG a

a) Tam giác ABC có góc tù không?

Hướng dẫn giải :

Áp dụng hệ quả của định lí cosin: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Từ đó suy ra các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C.\)

Lời giải chi tiết :

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

 \(\begin{array}{l}\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos A = \frac{{{{10}^2} + {{13}^2} - {8^2}}}{{2.10.13}} = \frac{{41}}{{52}} > 0;\\\cos B = \frac{{{8^2} + {{13}^2} - {{10}^2}}}{{2.8.13}} = \frac{{133}}{{208}} > 0\\\cos C = \frac{{{8^2} + {{10}^2} - {{13}^2}}}{{2.8.10}} =  - \frac{1}{{32}} < 0\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat C \approx 91,{79^ \circ } > {90^ \circ }\), tam giác ABC có góc C tù.

LG b

b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Hướng dẫn giải :

+) Tính AM:  Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACM:

\(A{M^2} = A{C^2} + C{M^2} - 2.AC.CM.\cos C\)

+) Tính diện tích:

Áp dụng công thức heron:  \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)

+) Tính R:  Áp dụng định lí sin: \(\frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow R = \frac{c}{{2\sin C}}\)

Lời giải chi tiết :

+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACM, ta có:

\(\begin{array}{l}A{M^2} = A{C^2} + C{M^2} - 2.AC.CM.\cos C\\ \Leftrightarrow A{M^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\left( { - \frac{1}{{32}}} \right) = 91,5\\ \Rightarrow AM \approx 9,57\end{array}\)

+) Ta có: \(p = \frac{{8 + 10 + 13}}{2} = 15,5\).

Áp dụng công thức heron, ta có: \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}  = \sqrt {15,5.(15,5 - 8).(15,5 - 10).(15,5 - 13)}  \approx 40\)

+) Áp dụng định lí sin, ta có:

\(\frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow R = \frac{c}{{2\sin C}} = \frac{{13}}{{2.\sin 91,{{79}^ \circ }}} \approx 6,5\)

LG c

c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C.

Hướng dẫn giải :

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BCD:

\(B{D^2} = C{D^2} + C{B^2} - 2.CD.CB.\cos \widehat {BCD}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\widehat {BCD} = {180^ \circ } - 91,{79^ \circ } = 88,{21^ \circ }\); \(CD = AC = 8\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BCD, ta có:

\(\begin{array}{l}B{D^2} = C{D^2} + C{B^2} - 2.CD.CB.\cos \widehat {BCD}\\ \Leftrightarrow B{D^2} = {8^2} + {10^2} - 2.8.10.\cos 88,{21^ \circ } \approx 159\\ \Rightarrow BD \approx 12,6\end{array}\)