Câu hỏi Vận dụng 1 trang 77 Toán 9 Chân trời sáng tạo: Cho lục giác đều ABCDEF có M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DE, EF, FA...

Cho lục giác đều ABCDEF có M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DE, EF, FA. Đa giác MNPQRS có là đa giác đều không? Vì sao?

Phương pháp giải :

- Đọc kỹ dữ kiện đề bài để vẽ hình

- Dựa vào: Đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau gọi là đa giác đều.

Lời giải chi tiết:

Do ABCDEF là lục giác đều nên:

\(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = \widehat E = \widehat F = {120^o}\).

- AB = BC = CD = DE = EF = FA.

Vì M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DE, EF, FA.

Suy ra AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QE = ER = RF = FS = SA.

Xét \(\Delta \) SAM và \(\Delta \) MBN có:

\(\widehat A = \widehat B\) (chứng minh trên);

AM = BN (chứng minh trên);

SA = MB (chứng minh trên).

Suy ra \(\Delta \) SAM = \(\Delta \) MBN (c – g – c).

Do đó, SM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta được: MN = NP, NP = PQ, QR = RS, RS = SM (1).

Vì AS = AM (chứng minh trên) suy ra \(\Delta \) ASM cân tại A.

suy ra \(\widehat {ASM} = \widehat {AMS}\) (tính chất tam giác cân)

Nên \(\widehat {ASM} = \widehat {AMS} = \frac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = {30^o}\) (tổng 3 góc trong của tam giác).

Tương tự ta thu được:

\(\widehat {BMN} = \widehat {BNM} = \frac{{{{180}^o} - \widehat B}}{2} = 30\);

\(\widehat {CNP} = \widehat {CPN} = \frac{{{{180}^o} - \widehat C}}{2} = {30^o}\);

\(\widehat {DPQ} = \widehat {DQP} = \frac{{{{180}^o} - \widehat D}}{2} = {30^o}\);

\(\widehat {EQR} = \widehat {ERQ} = \frac{{{{180}^o} - \widehat E}}{2} = {30^o}\);.

\(\widehat {FRS} = \widehat {FSR} = \frac{{{{180}^o} - \widehat F}}{2} = {30^o}\)

Ta có:

\(\widehat {RSM} = {180^o} - \widehat {FRS} - \widehat {ASM} = {180^o} - {30^o} - {30^o} = {120^o}\)

Tương tự, ta được:

\(\widehat {AMN} = \widehat {MNP} = \widehat {NQP} = \widehat {PQR} = \widehat {QRS} = {120^o}\). (2)

Từ (1) và (2), suy ra MNPQRS là đa giác đều.