Bài 1 trang 71 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông tại A \(\left( {AB Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật...

Đề bài :

Cho tam giác ABC vuông tại A \(\left( {AB < AC} \right)\). Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho \(MD = MA\).

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

b) Gọi E là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BEDC là hình bình hành.

c) EM cắt BD tại K. Chứng minh \(EK = 2KM\).

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu của hình chữ nhật để chứng minh: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

b) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu của hình bình hành để chứng minh: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

c) Sử dụng kiến thức tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Lời giải chi tiết :

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\)Tứ giác ABDC có: \(MD = MA\) (gt), \(MB = MC\) (gt), M thuộc AD, M thuộc BC nên tứ giác ABDC là hình bình hành. Mà \(\widehat {BAC} = {90^0}\) nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật.b) Vì E là điểm đối xứng của A qua B nên \(EB = AB\)Vì ABDC là hình chữ nhật nên \(AB = CD,\) AB//CDTứ giác BEDC có: \(EB = DC\left( { = AB} \right)\), EB//DC nên tứ giác BEDC là hình bình hành.c) Tam giác AED có hai đường trung tuyến BD và EM cắt nhau tại K nên K là trọng tâm của tam giác EAD. Suy ra: \(EK = \frac{2}{3}EM\), do đó \(EK = 2KM\).