Bài tập 30 trang 93 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Có hai chuồng gà. Chuồng I có 8 con gà trống và 13 con gà mái...

Đề bài :

Có hai chuồng gà. Chuồng I có 8 con gà trống và 13 con gà mái. Chuồng II có 10 con gà trống và 6 con gà mái. An bắt ngẫu nhiên một con gà từ chuồng II đem thả vào chuồng I. Sau đó, Bình bắt ngẫu nhiên một con gà từ chuồng I.

Giả sử Bình bắt được con gà mái. Tính xác suất để Bình bắt được con gà mái ở chuồng I.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).

Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Cho A và B là hai biến cố, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Lời giải chi tiết :

Gọi A là biến cố: “Con gà thả từ chuồng II sang chuồng I là gà mái”

Khi đó, \(P\left( A \right) = \frac{6}{{16}} = \frac{3}{8}\).

Suy ra, \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}\)

Gọi B là biến cố: “Bình bắt ra từ chuồng I là gà mái”.

Khi đó, \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{14}}{{22}} = \frac{7}{{11}},P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{13}}{{22}}\)

Áp dúng công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{3}{8}.\frac{7}{{11}} + \frac{5}{8}.\frac{{13}}{{22}} = \frac{{107}}{{176}}\)