Bài tập 5.48 trang 63 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng d...

Đề bài :

Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng d: \(\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\) và mặt phẳng (P): \(x + y - 2z + 3 = 0\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Khi đó:

\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow u \left( {2; - 2;1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n \left( {1;1; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.1 + 1.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt 6 }} \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) \approx 15,{8^o}\)