Bài tập 5.44 trang 62 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P)...

Đề bài :

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x - 2y - 2z - 3 = 0\) và đường thẳng d: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {2;1; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;0} \right)\).

Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n \left( {1; - 2; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\{ - 2}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 4;3; - 5} \right)\)

Vì mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (Q) nhận \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 4;3; - 5} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà điểm \(A\left( {1; - 1;0} \right)\) thuộc mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (Q) là: \( - 4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 1} \right) - 5z = 0 \Leftrightarrow - 4x + 3y - 5z + 7 = 0\)