Giải mục 1 trang 60, 61 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Các mặt phẳng tọa độ trong Hình 2.35 có đôi một vuông góc với nhau không?...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 60 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian, xét ba trục Ox, Oy, Oz có chung gốc O và đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) là các vectơ đơn vị trên các trục đó (H.2.35).

a) Gọi tên các mặt phẳng tọa độ có trong Hình 2.35.

b) Các mặt phẳng tọa độ trong Hình 2.35 có đôi một vuông góc với nhau không?

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh: Nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết :

a) Các mặt phẳng có trong hình vẽ là: Mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).

b) Vì \(Ox \bot Oy,Oy \bot Oz\), Ox và Oz cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (Oxz) nên \(Oy \bot \left( {Oxz} \right)\). Mà \(Oy \subset \left( {Oxy} \right) \Rightarrow \left( {Oxz} \right) \bot \left( {Oxy} \right),Oy \subset \left( {Oyz} \right) \Rightarrow \left( {Oyz} \right) \bot \left( {Oxz} \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\left( {Oyz} \right) \bot \left( {Oxy} \right)\)

Vậy ba mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau.

Câu hỏi:

Trả lời Câu hỏi trang 61 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Góc căn phòng trong Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ tọa độ Oxyz trong không gian hay không? Nếu có hãy mô tả gốc tọa độ và các mặt phẳng tọa độ trong hình ảnh đó.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức hệ về hệ tọa độ trong không gian để mô tả: Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz (hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz). Điểm O được gọi là gốc tọa độ, các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau và được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

Lời giải chi tiết :

Góc căn phòng trong Hình 2.34 gợi lên hình ảnh về hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian.

Mô tả: Hệ tọa độ Oxyz có:

+ Mặt phẳng (Oxy) là sàn nhà, hai mặt phẳng (Oyz), (Ozx) hai bức tường. Khi đó, ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.

+ Gốc tọa độ O (trùng với một góc phòng) là giao điểm của ba trục Ox, Oy, Oz.

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 61SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Có thể lập một hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh C và các vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt cùng hướng với các vectơ \(\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CC’} \) không? Vì sao?

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về hệ tọa độ trong không gian để mô tả: Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz (hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz). Điểm O được gọi là gốc tọa độ, các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau và được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên các cạnh CC’, CB và CD đôi một vuông góc với nhau.

Các vectơ \(\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CC’} \) cùng có điểm đầu là C.

Do đó, suy ra có thể lập một hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh C và các vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt cùng hướng với các vectơ \(\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CC’} \).