Giải mục 3 trang 23, 24 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Với \(x > - 1\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C)...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 23 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = x - 1 + \frac{2}{{x + 1}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng \(y = x - 1\) như Hình 1.24.

a) Với \(x > - 1\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng \(y = x - 1\). Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi \(x \to + \infty \)?

b) Chứng tỏ rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\). Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính giới hạn.

Lời giải chi tiết :

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, khi \(x \to + \infty \) thì khoảng cách MH tiến tới 0.

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 0\)

Tính chất này được thể hiện trong Hình 1.24 là: Khoảng cách từ điểm M của đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng \(y = x - 1\) tiến đến 0 khi \(x \to + \infty \).

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 24 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về tìm khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = - \infty \)

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(x = 1\)

Ta có: \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = - x + 3 - \frac{1}{{1 - x}}\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\)

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(y = - x + 3\)