Giải mục 1 trang 20, 21 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi \(x \to + \infty \)?...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\) có đồ thị (C). Với \(x > 0\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng \(y = 2\) (H.1.19).

a) Tính khoảng cách MH.

b) Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi \(x \to + \infty \)?

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(M\left( {x;\frac{{2x + 1}}{x}} \right)\); \(H\left( {x;2} \right)\).

Do đó, \(MH = \sqrt {{{\left( {x - x} \right)}^2} + {{\left( {2 - \frac{{2x + 1}}{x}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{2x - 2x - 1}}{x}} \right)}^2}} = \frac{1}{x}\) (do \(x > 0\))

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0\). Do đó, khi \(x \to + \infty \) thì \(MH \to 0\).

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 2\).

Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) là \(y = 2\).

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau t ngày phân rã được cho bởi hàm số \(m\left( t \right) = 15{e^{ - 0,012t}}\). Khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi \(t \to + \infty \)? Điều này thể hiện trên Hình 1.18 như thế nào?

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } m\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } 15{e^{ - 0,012t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{15}}{{{e^{0,012t}}}} = 0\)

Do đó, \(m\left( t \right) \to 0\) khi \(t \to + \infty \).

Trong hình 1.18, khi \(t \to + \infty \) thì m(t) càng gần trục hoành Ot (nhưng không chạm trục Ot).