Bài 1.26 trang 40 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ...

Đề bài :

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là \(y = {t^3} - 12t + 3,t \ge 0\).a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 3\).d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng kiến thức về tốc độ thay đổi của một đại lượng để tìm hàm vận tốc và hàm gia tốc: Nếu \(s = s\left( t \right)\) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì \(v = s’\left( t \right)\) biểu thị vận tốc tức thời của vật, tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: \(a\left( t \right) = v’\left( t \right) = s”\left( t \right)\).

b) Vật chuyển động lên trên (theo chiều dương) khi \(v\left( t \right) > 0\), vật chuyển động xuống dưới (chuyển động ngược chiều dương) khi \(v\left( t \right) < 0\).

c) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 3\) là \(s\left( 3 \right) - s\left( 0 \right)\)

d) Hạt tăng tốc khi \(v’\left( t \right) > 0\) hay \(a\left( t \right) > 0\), hạt giảm tốc khi \(v’\left( t \right) < 0\) hay \(a\left( t \right) < 0\).

Lời giải chi tiết :

a) Hàm vận tốc là: \(v\left( t \right) = y’ = 3{t^2} - 12\), \(t \ge 0\)

Hàm gia tốc là: \(a\left( t \right) = v’\left( t \right) = y” = 6t\), \(t \ge 0\)

b) Hạt chuyển động lên trên khi \(v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 12 > 0 \Leftrightarrow t > 2\) (do \(t \ge 0\))

Hạt chuyển động xuống dưới khi \(v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 12 < 0 \Leftrightarrow 0 \le t < 2\) (do \(t \ge 0\))

c) Ta có: \(y\left( 3 \right) - y\left( 0 \right) = {3^3} - 12.3 + 3 - 3 = - 9\)

Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian \(0 \le t \le 3\) là 9m.

d) Hạt tăng tốc khi \(v\left( t \right)\) tăng hay \(v’\left( t \right) > 0.\) Do đó, \(6t > 0 \Leftrightarrow t > 0\)

Hạt giảm tốc khi \(v\left( t \right)\) giảm hay \(v’\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 6t < 0 \Leftrightarrow t < 0\) (không thỏa mãn do \(t \ge 0\))