Bài 7.13 trang 30 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho tứ diện \(ABCD\) có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng \(a\)...

Đề bài :

Cho tứ diện \(ABCD\) có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng \(a\). Tính côsin của góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(BCD\).

Hướng dẫn giải :

Phương pháp chung

Để xác định góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)ta thực hiện theo các bước sau:

- Tìm giao điểm \(O = a \cap \left( \alpha \right)\)

- Dựng hình chiếu \(A’\) của một điểm \(A \in a\) xuống \(\left( \alpha \right)\)

- Góc \(\widehat {AOA’} = \varphi \) chính là góc giữa đường thẳng \(a\) và \(\left( \alpha \right)\).

Gợi ý phương pháp giải

Kẻ \(AH \bot \left( {BCD} \right)\) tại \(H\),

Xác định hình chiếu của \(AB\) trên \(\left( {BCD} \right)\) là \(BH\)

Tính góc \(\left( {AB,BH} \right) = \widehat {ABH}\) rồi kết luận

Lời giải chi tiết :

Kẻ \(AH \bot \left( {BCD} \right)\) tại \(H\), ta có \(BH\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) nên góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(BH\), mà \(\left( {AB,BH} \right) = \widehat {ABH}\).

Vì \(AB = AC = AD\) nên \(HB = HC = HD\), hay \(H\) là tâm của tam giác\(BCD\), suy ra\(BH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Từ đó ta tính được: \(\cos \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).