Bài 5.51 trang 90 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x}\, \, {\rm{khi}}\, \, x \ne 0\\2\, \, \, {\rm{khi}}\, \, x = 0\end{array} \right. \) Chứng minh rằng...

Đề bài :

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x}\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ne 0\\2\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x = 0\end{array} \right.\)

a) Chứng minh rằng \(f( - 1).f(1)

b) Chứng minh rằng phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm thuộc khoảng \(( - 1;1)\).

c) Có kết luận gì về tính liên tục của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([ - 1;1]\).

Hướng dẫn giải :

Tính \(f( - 1),\,f(1) \Rightarrow f( - 1).f(1)

Giải phương trình \(f(x) = 0\) suy ra phương trình không có nghiệm thuộc khoảng \(( - 1;1)\).

Tính giới hạn trái và giới hạn phải của hàm số tại 0 để kết luận về tính liên tục của hàm số.

Lời giải chi tiết :

a) \(f( - 1).f(1) = \frac{1}{{ - 1}}.\frac{1}{1} = - 1

b) Ta thấy \(f(0) = 2\) và \(f(x) = \frac{1}{x} \ne 0\forall x \in ( - 1;1)\) nên phương trình không có nghiệm thuộc khoảng này.

c) Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty \) nên hàm số gián đoạn tại điểm \(x = 0.\)\(\)