Bài 7.43 trang 65 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho hình lăng trụ \(ABCD. A’B’C’D’\). Biết \(A’...

Đề bài :

Cho hình lăng trụ \(ABCD.A’B’C’D’\). Biết \(A’.ABCD\) là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng \(a\). Tính theo \(a\) thể tích của khối lăng trụ \(ABCD.A’B’C’D’\) và thể tích của khối chóp \(A’.BB’C’C\).

Hướng dẫn giải :

Thể tích khối lăng trụ \(V = h.S\)

Lời giải chi tiết :

Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\) mà A’.ABCD là hình chóp đều nên \(A’O \bot \left( {ABCD} \right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại B có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác A’AO vuông tại O có

\(A’O = \sqrt {A{{A’}^2} - A{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\({S_{ABCD}} = {a^2}\)

Vậy khối lăng trụ có thể tích \(V = \frac{1}{3}A’O.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

Nếu hình lăng trụ \(ABCD.A’B’C’D’\) xoay lại thành hình lăng trụ AA’D’D.BB’C’C thì thể tích không thay đổi do đó thể tích hình chóp \(A’.BB’C’C\) bằng một phần 3 thể tích hình lăng trụ AA’D’D.BB’C’C vì chung đáy và chung chiều cao kẻ từ A’ xuống đáy BB’C’C.

Thể tích khối chóp là \({V_{A’.BB’C’C}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{18}}\)