Trang chủ Lớp 11 SGK Toán 11 - Kết nối tri thức Chương 5 Giới hạn.Hàm số liên tục Giải mục 1 trang 105, 106 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0, 01?...

Giải mục 1 trang 105, 106 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0, 01?...

Lời giải bài tập, câu hỏi HĐ 1, LT 1, HĐ 2 , LT 2, VD 1 mục 1 trang 105, 106 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức Bài 15. Giới hạn của dãy số. Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = frac{{{{left( { - 1} right)}^n}}}{n})a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục sốb) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy... Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Câu hỏi:

Hoạt động 1

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\)

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Hướng dẫn giải :

Dựa vào công thức số hạng tổng quát tìm được 5 số hạng đầu tiên và biểu diễn trên trục số.

Lời giải chi tiết :

a) \({u_1} = - 1;\;\;{u_2} = \frac{1}{2};\;\;\;{u_3} = - \frac{1}{3};\;\;\;{u_4} = \frac{1}{4};\;\;\;{u_5} = - \frac{1}{5}\).

image

b) Ta có: \({u_{100}} = 0,01\) suy ra bắt đầu từ số hạng thứ 101 khoảng cách từ số hạng đến 0 nhỏ hơn 0,01.


Câu hỏi:

Luyện tập 1

Chứng minh rằng: \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\; = 0\).

Hướng dẫn giải :

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải chi tiết :

\(\left| {{u_n}} \right| = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n đủ lớn.

Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| < 1.69 \times {10^{ - 5}}\) ta cần n > 10.

Vậy các số hạng của dãy số kể từ số hạng thứ 11 đều có giá trị nhỏ hơn \(1.69 \times {10^{ - 5}}\).


Câu hỏi:

Hoạt động 2

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - 1\). Tính \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty }{v_n}\;\).

Hướng dẫn giải :

Dãy sô \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu \(\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0\).

Lời giải chi tiết :

\({u_n} = {u_n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n} - n}}{n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} \to 0\) khi \(n \to + \infty \).

Do vậy \({v_n}\; = 0\).


Câu hỏi:

Luyện tập 2

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}\). Chứng minh rằng \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 3\).

Hướng dẫn giải :

\({u_n}\; = a\) khi và chỉ khi \(\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0\).

Lời giải chi tiết :

\({u_n} = \frac{{3 \times {2^n} - 1}}{{{2^n}}} - 3 = \frac{{3 \times {2^n} - 1 - 3 \times {2^n}}}{{{2^n}}} = - \frac{1}{{{2^n}}} \to 0\) khi \(n \to + \infty \).

Do vậy \({u_n}\; = 3\).


Câu hỏi:

Vận dụng 1

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử \({u_n}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.

Hướng dẫn giải :

\({u_n}\; = a\) khi và chỉ khi \(\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0\).

Tìm được độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết :

Độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn tạo thành cấp số nhân có số hạng tổng quát:

\({u_n} = 5 \times {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}}\).

Ta có: \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} \to 0\) khi \(n \to + \infty \).

Suy ra \(5{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} \to 0\) khi \(n \to + \infty \).

Vậy \({u_n}\; = 0\).

Dụng cụ học tập

Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.

Chia sẻ

Chia sẻ qua Facebook Chia sẻ

Sách Giáo Khoa: Kết nối tri thức với cuộc sống

- Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống được biên soạn cho tất cả học sinh phổ thông trên mọi miền của đất nước, giúp các em hình thành và phát triển những phẩm chất và năng lực cần có đối với người công dân Việt Nam trong thế kỉ XXI. Với thông điệp “Kết nối tri thức với cuộc sống”, bộ SGK này được biên soạn theo mô hình hiện đại, chú trọng vai trò của kiến thức, nhưng kiến thức cần được “kết nối với cuộc sống”, bảo đảm: 1) phù hợp với người học; 2) cập nhật những thành tựu khoa học hiện đại, phù hợp nền tảng văn hóa và thực tiễn Việt Nam; 3) giúp người học vận dụng để giải quyết những vấn đề của đời sống: đời sống cá nhân và xã hội, đời sống tinh thần (đạo đức, giá trị nhân văn) và vật chất (kĩ năng, nghề nghiệp).

Đọc sách

Bạn có biết?

Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 11

Lớp 11 - Năm học quan trọng, bắt đầu hướng đến những mục tiêu sau này. Hãy học tập chăm chỉ và tìm ra đam mê của mình để có những lựa chọn đúng đắn cho tương lai!'

- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.

Nguồn : Sưu tập

Copyright © 2024 Giai BT SGK