Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó ô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi \({u_1},\;{u_2}, \ldots ,\;{u_n}, \ldots \) lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.
a) Tính tổng \({S_n} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_n}\)
b) Tìm \(S = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {S_n}\)
Dựa vào đề bài để tìm ra biểu thức \({S_n}\). Sau đó tìm giới hạn.
Ta có: \({u_n} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\).
a) \({S_n} = \frac{{\frac{1}{2} \times \left( {\frac{1}{{{2^n}}} - 1} \right)}}{{\frac{1}{2} - 1}} = 1 - \frac{1}{{{2^n}}}\).
b) \(S = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {S_n}= \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\; = 1\).
Tính tổng \(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{7^2}} + \ldots + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} + \ldots \).
Dựa vào công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).
.
\(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{49}} + \ldots + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} + \ldots = 2 \times \left( {1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{{49}} + \ldots + \frac{1}{{{7^{n - 1}}}} + \ldots } \right) = 2 \times \frac{1}{{1 - \frac{1}{7}}} = \frac{7}{3}\).
Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100km.h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu a = 100(km)
a) Tính thời gian \({t_1},\;{t_2}, \ldots ,{t_n}, \ldots \) tương ứng để Achilles đi từ \({A_1}\) đến \({A_2}\), từ \({A_2}\) đến \({A_3}\),…, từ \({A_n}\) đến \({A_{n + 1}}\),…
b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường \({A_1}{A_2},\;{A_2}{A_3}, \ldots ,\;{A_n}{A_{n + 1}}\),… tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa
c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?
Để tính tổng thời gian chạy hết quãng đường, ta sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.
a) Để chạy hết quãng đường từ \({A_1}\) đến \({A_2}\) với \({A_1}{A_2} = a = 100\)(km), Achilles phải mất thời gian \({t_1} = \frac{{100}}{{100}} = 1(h)\). Với thời gian \({t_1}\)này, rùa đã chạy được quãng đường \({A_2}{A_3} = 1(km)\).
Để chạy hết quãng đường từ \({A_2}\)đến \({A_3}\)với \({A_2}{A_3} = 1(km)\), Achilles phải mất thời gian \({t_2} = \frac{1}{{100}}(h)\). Với thời gian \({t_2}\)này, rùa đã chạy được quãng đường \({A_3}{A_4} = \frac{1}{{100}}(km)\)
Để chạy hết quãng đường từ \({A_n}\)đến \({A_{n + 1}}\)với \({A_n}{A_{n + 1}} = \frac{1}{{{{100}^{ - 2}}}}(km)\), Achilles phải mất thời gian \({t_n} = \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}(h)\).
b) Tổng thời gian cần thiết để chạy hết quãng đường từ \({A_1}{A_2},{A_2}{A_3},...,{A_n}{A_{n + 1}},...\)tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là:
\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}} + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...(h)\)
Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 1,q = \frac{1}{{100}}\), nên ta có:
\(T = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}} = 1\frac{1}{{99}}(h)\)
Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau: \(1\frac{1}{{99}}(h)\)
c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa
Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.
- Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống được biên soạn cho tất cả học sinh phổ thông trên mọi miền của đất nước, giúp các em hình thành và phát triển những phẩm chất và năng lực cần có đối với người công dân Việt Nam trong thế kỉ XXI. Với thông điệp “Kết nối tri thức với cuộc sống”, bộ SGK này được biên soạn theo mô hình hiện đại, chú trọng vai trò của kiến thức, nhưng kiến thức cần được “kết nối với cuộc sống”, bảo đảm: 1) phù hợp với người học; 2) cập nhật những thành tựu khoa học hiện đại, phù hợp nền tảng văn hóa và thực tiễn Việt Nam; 3) giúp người học vận dụng để giải quyết những vấn đề của đời sống: đời sống cá nhân và xã hội, đời sống tinh thần (đạo đức, giá trị nhân văn) và vật chất (kĩ năng, nghề nghiệp).
Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưLớp 11 - Năm học quan trọng, bắt đầu hướng đến những mục tiêu sau này. Hãy học tập chăm chỉ và tìm ra đam mê của mình để có những lựa chọn đúng đắn cho tương lai!'
- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.
Nguồn : Sưu tậpCopyright © 2024 Giai BT SGK