Bài 4.24 trang 94 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm \({A_1}, {A_2}\)sao cho \(A{A_1} = {A_1}{A_2} = {A_2}S...

Đề bài :

Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm \({A_1},{A_2}\)sao cho \(A{A_1} = {A_1}{A_2} = {A_2}S.\) Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua \({A_1},{A_2}.\) Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại \({B_1},{C_1}.\) Mặt phẳng (Q) cắt các canhj SB, SC lần lượt tại \({B_2},{C_2}.\) Chứng minh \(B{B_1} = {B_1}{B_2} = {B_2}S\) và \(C{C_1} = {C_1}{C_2} = {C_2}S\).

Hướng dẫn giải :

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (ABC), (P), (Q) và hai cát tuyến SA, SC ta có:

\(\frac{{{C_2}S}}{{{A_2}S}} = \frac{{{C_1}{C_2}}}{{{A_1}{A_{2\;}}}} = \frac{{C{C_1}}}{{A{A_1}}}\) mà \(A{A_1} = {A_1}{A_2} = {A_2}S\).

Suy ra \(C{C_1} = {C_1}{C_2} = {C_2}S\). Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (ABC), (P), (Q) và hai cát tuyến SA, SB ta có:

\(\frac{{{B_2}S}}{{{A_2}S}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{B{B_1}}}{{A{A_1}}}\) mà \(A{A_1} = A{A_2} = {A_2}S\).

Suy ra \(B{B_1} = {B_1}{B_2} = {B_2}S\).