Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 - Kết nối tri thức Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ Bài 4.30 trang 65 SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho hình chữ nhật (ABCD) có (AB = 1,,,BC = sqrt 2 .) Gọi (M) là trung điểm...

Bài 4.30 trang 65 SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho hình chữ nhật (ABCD) có (AB = 1,,,BC = sqrt 2 .) Gọi (M) là trung điểm...

Giải bài 4.30 trang 65 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống - Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ

Đề bài :

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 1,\,\,BC = \sqrt 2 .\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD.\)

a) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AC\) và \(BM\) vuông góc với nhau.

b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC,\,\,BM.\) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\) và \(P\) là trung điểm của \(CD.\) Chứng minh rằng tam giác \(NBP\) là một tam giác vuông.

Phương pháp giải :

-  Tính các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BM} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} \)

- Tính độ dài các cạnh \(AC,\,\,AH\)

- Tính các vectơ \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NP} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} \)

Lời giải chi tiết :

image

a)      Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành)

Ta có: \(\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

 \(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ =  - {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} =  - 1 + \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2 } \right) - 1 + 1 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BM} \) \( \Rightarrow \) \(AC \bot BM\)

b)     Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt 3 \)       (1)

Xét \(\Delta ABN\) vuông tại \(A\) có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \,\,\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = 1 + 2 = 3\)

\( \Rightarrow \,\,AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)      (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(AH = \frac{1}{3}AC\)

Ta có: \(\overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}  = \frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \)

Ta có: \(\overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {CP}  - \overrightarrow {CN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}  - \frac{5}{6}\overrightarrow {CA}  = \frac{5}{6}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \frac{5}{6}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP}  = \left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\)

                   \(\begin{array}{l} = \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{1}{{18}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{{18}}.1 - \frac{5}{{36}}.\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{5}{{18}} - \frac{5}{{18}} = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB}  \bot \overrightarrow {NP} \) \( \Rightarrow \) \(NB \bot NP\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta NBP\) vuông tại \(N\).

Dụng cụ học tập

Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.

Chia sẻ

Chia sẻ qua Facebook Chia sẻ

Sách Giáo Khoa: Kết nối tri thức với cuộc sống

- Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống được biên soạn cho tất cả học sinh phổ thông trên mọi miền của đất nước, giúp các em hình thành và phát triển những phẩm chất và năng lực cần có đối với người công dân Việt Nam trong thế kỉ XXI. Với thông điệp “Kết nối tri thức với cuộc sống”, bộ SGK này được biên soạn theo mô hình hiện đại, chú trọng vai trò của kiến thức, nhưng kiến thức cần được “kết nối với cuộc sống”, bảo đảm: 1) phù hợp với người học; 2) cập nhật những thành tựu khoa học hiện đại, phù hợp nền tảng văn hóa và thực tiễn Việt Nam; 3) giúp người học vận dụng để giải quyết những vấn đề của đời sống: đời sống cá nhân và xã hội, đời sống tinh thần (đạo đức, giá trị nhân văn) và vật chất (kĩ năng, nghề nghiệp).

Đọc sách

Bạn có biết?

Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 10

Lớp 10 - Năm đầu tiên ở cấp trung học phổ thông, bước vào một môi trường mới với nhiều bạn bè từ khắp nơi. Hãy tận hưởng thời gian này và bắt đầu định hướng tương lai cho mình!

- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.

Nguồn : Sưu tập

Copyright © 2024 Giai BT SGK