Bài 4.29 trang 65 SBT Toán 10 Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho tam giác đều (ABC) có độ dài cạnh bằng 1....

Đề bài :

Cho tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh bằng 1.

a)      Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Tính tích vô hướng của các cặp vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} ,\) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)

b)     Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C.\) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} \)

c)      Lấy điểm \(P\) thuộc đoạn \(AN\) sao cho \(AP = 3PN.\) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {MP} \) thuộc hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} .\) Tính độ dài đoạn \(MP.\)

Phương pháp giải :

- Tính đường cao \(AM,\) tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} \), \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)

- Tính độ dài \(MN\) xong áp dụng định lý Pi-ta-go để tính độ dài cạnh \(AN\)

- Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AN} \)

- Chứng minh \(\overrightarrow {AP}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} \)và \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AM} \)  xong dùng phương pháp biến đổi

- Áp dụng định lý hàm cosin để tính cạnh \(MP\)

Lời giải chi tiết :

a) Xét \(\Delta ABC\) đều cạnh bằng 1 có: \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\)

\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BA} } \right) = {{30}^ \circ }}\\{\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {{150}^ \circ }}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BA}  = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\cos {30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{3}{4}\)

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\cos {150^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{ - 3}}{4}\)

b) Ta có: \(MN = CM + CN = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\)

Ta có: \(\widehat {MAN} = {60^ \circ }\)

Xét \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\) có:

\(AN = \sqrt {A{M^2} + M{N^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt 3 \)

Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN}  = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AN} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 .\cos {60^ \circ } = \frac{3}{2}.\frac{1}{2} = \frac{3}{4}\)

c) Ta có: \(P\) thuộc đoạn \(AN\) sao cho \(AP = 3PN.\)

Nên \(\overrightarrow {AP}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN}  = \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CN} } \right) = \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{3}{4}\left( {2\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AM}  = \frac{3}{4}\left( {2\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AC}  - \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} \)

Ta có: \(AP = \frac{3}{4}AN = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow \) \(MP = \sqrt {A{P^2} + A{M^2} - 2AP.AM.\cos \widehat {MAP}}  = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\)