Mục 2 trang 82, 83 Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức: Với điểm A cho trước nằm trên đường tròn (O), có bao nhiêu hình vuông có một đỉnh là A nội tiếp đường tròn (O)?...

Câu hỏi:

Hướng dẫn giải câu hỏi Hoạt động 4 trang 82 SGK Toán 9

Cho hình chữ nhật ABCD và giao điểm M của hai đường chéo AC và BD (H.9.33).

a) Hãy giải thích vì sao điểm M cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

c) Chứng tỏ rằng hình chữ nhật ABCD nội tiếp một đường tròn có bán kính bằng nửa đường chéo hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng tính chất hình chữ nhật suy ra: \(MA = MB = MC = MD\) nên M cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

b) Vì \(MA = MB = MC = MD\) nên bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn đường kính BD.

Lời giải chi tiết :

a) Vì ABCD là hình chữ nhật, M là giao điểm của hai đường chéo nên \(MA = MB = MC = MD\) (tính chất hình chữ nhật). Do đó, M cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

b) Ta có: \(MA = MB = MC = MD = \frac{{BD}}{2}\) nên bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn đường kính BD.

Do đó, hình chữ nhật ABCD nội tiếp một đường tròn có bán kính bằng nửa đường chéo hình chữ nhật.

Câu hỏi:

Giải câu hỏi Hoạt động 5 trang 82 SGK Toán 9

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3cm (H.9.34).

Hãy xác định tâm, vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và cho biết bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải :

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD.

+ Chứng minh \(OA = OB = OC = OD = \frac{{AC}}{2}\) nên chứng minh được đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là đường tròn có bán kính bằng nửa độ dài đường chéo trong hình vuông ABCD.

Lời giải chi tiết :

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên \(OA = OB = OC = OD = \frac{{AC}}{2}\).

Do đó, 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

Vậy đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là đường tròn có bán kính bằng nửa độ dài đường chéo trong hình vuông ABCD.

Câu hỏi:

Giải câu hỏi Câu hỏi trang 82 SGK Toán 9

Với điểm A cho trước nằm trên đường tròn (O), có bao nhiêu hình vuông có một đỉnh là A nội tiếp đường tròn (O)?

Hướng dẫn giải :

Với điểm A cho trước nằm trên đường tròn (O), có duy nhất một hình vuông có một đỉnh là A nội tiếp đường tròn (O).

Lời giải chi tiết :

Với điểm A cho trước nằm trên đường tròn (O), có duy nhất một hình vuông có một đỉnh là A nội tiếp đường tròn (O).

Câu hỏi:

Gợi ý giải câu hỏi Luyện tập 2 trang 83SGK Toán 9

Cho hình thoi ABCD có các cạnh bằng 3cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD. Chứng tỏ rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác chứng minh được: MN//AC, PQ//AC, \(MN = PQ = \frac{1}{2}AC\) nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

+ Chứng minh được MQ//BD, MN//AC, \(BD \bot AC\) nên \(MQ \bot MN\) nên \(\widehat {QMN} = {90^o}\).

+ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

+ Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác MNQ vuông tại M để tính NQ, từ đó tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ.

Lời giải chi tiết :

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, MN//AC, \(MN = \frac{1}{2}AC\) (1).

Vì M, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, MQ//BD, \(MQ = \frac{1}{2}BD\).

Vì P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AD nên PQ là đường trung bình của tam giác ADC. Do đó, PQ//AC, \(PQ = \frac{1}{2}AC\) (2).

Từ (1) và (2) ta có: \(MN = PQ\) và MN//PQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành (3).

Vì MN//AC, \(AC \bot BD\) (do ABCD là hình thoi) nên \(MN \bot BD\)

Vì MQ//BD, \(MN \bot BD\) nên \(MQ \bot MN \Rightarrow \widehat {QMN} = {90^o}\) (4)

Từ (3) và (4) ta có: Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình thoi nên \(AC \bot BD\) tại O và \(OB = \frac{1}{2}BD,OC = \frac{1}{2}AC\). Do đó, \(MN = OC,MQ = OB\).

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BOC vuông tại O có: \(O{B^2} + O{C^2} = 9\). Do đó, \(M{N^2} + M{Q^2} = 9\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác MNQ vuông tại M có:

\(N{Q^2} = M{N^2} + M{Q^2} = 9 \Rightarrow NQ = \sqrt 9 = 3\left( {cm} \right)\)

Vì MNPQ là hình chữ nhật nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ có bán kính là \(\frac{{NQ}}{2} = \frac{3}{2}\left( {cm} \right)\).

Câu hỏi:

Hướng dẫn giải câu hỏi Thử thách nhỏ 2 trang 83SGK Toán 9

Nếu các hình chữ nhật có chung một đường chéo (ví dụ như hai hình chữ nhật ABCD và AECF trong Hình 9.36) thì các đỉnh của chúng có nằm trên một đường tròn không?

Hướng dẫn giải :

Chứng minh các hình chữ nhật ABCD, AECF nội tiếp đường tròn đường kính AC. Do đó, rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Vì AECF là hình chữ nhật nên AECF nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Do đó, hai hình chữ nhật ABCD, AECF cùng nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Suy ra, các hình chữ nhật có chung một đường chéo thì nằm trên một đường tròn.