Giải mục 3 trang 13, 14, 15 Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức: Pi hỏi: Có thể nói gì về nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\)...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 13

Thực hiện các bước sau để giải phương trình: \(2{x^2} - 8x + 3 = 0\).

a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.

b) Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của \({x^2}\).

c) Thêm vào hai vế của phương trình nhận được ở câu b với cùng một số để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó tìm nghiệm x.

Hướng dẫn giải :

a) Chuyển hạng tử tự do của phương trình sang vế phải ta được phương trình \(2{x^2} - 8x = - 3\).

b) Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của \({x^2}\) ta được: \({x^2} - 4x = \frac{{ - 3}}{2}\).

c) Các bước giải phương trình:

+ Bước 1: Cộng thêm 4 vào 2 vế để đưa phương trình về dạng: \({A^2} = B\left( {B \ge 0} \right)\).

+ Bước 2: Nếu \({A^2} = B\left( {B \ge 0} \right)\) thì \(A = \sqrt B \) hoặc \(A = - \sqrt B \). Giải các phương trình đó và kết luận.

Lời giải chi tiết :

a) Chuyển hạng tử tự do của phương trình sang vế phải ta được phương trình \(2{x^2} - 8x = - 3\).

b) Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của \({x^2}\) ta được: \({x^2} - 4x = \frac{{ - 3}}{2}\).

c) \({x^2} - 4x = \frac{{ - 3}}{2}\)

\({x^2} - 4x + 4 = \frac{{ - 3}}{2} + 4\)

\({\left( {x - 2} \right)^2} = \frac{5}{2}\)

\(x - 2 = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\) hoặc \(x - 2 = - \frac{{\sqrt {10} }}{2}\)

\(x = 2 + \frac{{\sqrt {10} }}{2}\) \(x = 2 - \frac{{\sqrt {10} }}{2}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 2 + \frac{{\sqrt {10} }}{2}\); \(x = 2 - \frac{{\sqrt {10} }}{2}\).

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 14

Áp dụng công thức nghiệm, giải các phương trình sau:

a) \(2{x^2} - 5x + 1 = 0\);

b) \({x^2} + 8x + 16 = 0\);

c) \({x^2} - x + 1 = 0\).

Hướng dẫn giải :

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Tính biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).

+ Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\).

+ Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}\).

+ Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.2 = 17 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{5 + \sqrt {17} }}{4};{x_2} = \frac{{5 - \sqrt {17} }}{4}\)

b) Ta có: \(\Delta = {8^2} - 4.16.1 = 0\) nên phương trình có nghiệm kép:\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 8}}{2} = - 4\)

c) Ta có: \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 = - 3 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thử thách nhỏ trang 14

Pi hỏi: Có thể nói gì về nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) nếu a và c trái dấu?

Em hãy trả lời câu hỏi của anh Pi.

Hướng dẫn giải :

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có: \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Nếu a và c trái dấu thì tích \(ac < 0\). Từ đó, xét dấu của biệt thức \(\Delta \). Do đó, kết luận được số nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Lời giải chi tiết :

Vì a và c trái dấu thì tích \(ac < 0\), suy ra: \( - ac > 0\).

Do đó, \(\Delta = {b^2} - 4ac > 0\). Suy ra, phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy nếu a và c trái dấu thì phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 15

Xác định a, b’, c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình sau:

a) \(3{x^2} + 8x - 3 = 0\);

b) \({x^2} + 6\sqrt 2 x + 2 = 0\).

Hướng dẫn giải :

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\), với \(b = 2b’\) và \(\Delta ‘ = b{‘^2} - ac\)

+ Nếu \(\Delta ‘ > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b’ + \sqrt {\Delta ‘} }}{a};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt {\Delta ‘} }}{a}\).

+ Nếu \(\Delta ‘ = 0\) thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b’}}{a}\).

+ Nếu \(\Delta ‘ < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(a = 3,b’ = 4,c = - 3\) và \(\Delta ‘ = {4^2} - 3.\left( { - 3} \right) = 25 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - 4 + \sqrt {25} }}{3} = \frac{1}{3};{x_2} = \frac{{ - 4 - \sqrt {25} }}{3} = - 3\).

b) Ta có: \(a = 1,b’ = 3\sqrt 2 ,c = 2\) và \(\Delta ‘ = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} - 2.1 = 16 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = - 3\sqrt 2 + 4;{x_2} = - 3\sqrt 2 - 4\)

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 15

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Tình huống mở đầu: Trên một mảnh đất hình chữ nhật có kích thước 28m x 16m, người ta dự định làm một bể bơi có đường đi xung quanh (H.6.9). Hỏi bề rộng của đường đi là bao nhiêu để diện tích của bể bơi là \(288{m^2}\)?

Hướng dẫn giải :

- Giải phương trình đã lập được ở HĐ3 để tìm x:

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\), với \(b = 2b’\) và \(\Delta ‘ = b{‘^2} - ac\)

+ Nếu \(\Delta ‘ > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b’ + \sqrt {\Delta ‘} }}{a};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt {\Delta ‘} }}{a}\).

+ Nếu \(\Delta ‘ = 0\) thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b’}}{a}\).

+ Nếu \(\Delta ‘ < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

- Đối chiếu x vừa tìm được với điều kiện và đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết :

Theo kết quả của HĐ3 ta có: \(4{x^2} - 88x + 448 = 288\)

\({x^2} - 22x + 40 = 0\)

Ta có: \(\Delta ‘ = {11^2} - 1.40 = 81 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = 11 + 9 = 20\left( {KTM} \right);{x_2} = 11 - 9 = 2\left( {TM} \right)\)

Vậy bề rộng của đường đi là 2m thì diện tích của bể bơi là \(288{m^2}\).