Bài 6.32 trang 12 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - {x^3}}}. \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right)...

Đề bài :

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - {x^3}}}.\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right):\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\)

a) Viết điều kiện xác định của P.

b) Rút gọn biểu thức P.

c) Tính giá trị của P khi \(x = \frac{1}{2}\).

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng kiến thức điều kiện xác định của phân thức để tìm điều kiện xác định của phân thức: Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\) là \(B \ne 0\)

b) + Sử dụng kiến thức cộng (trừ) các phân thức khác mẫu để cộng (trừ) phân thức: Quy đồng mẫu thức rồi cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu vừa tìm được

+ Sử dụng kiến thức nhân hai phân thức để tính: Nhân các tử thức với nhau và nhân các mẫu thức với nhau: \(\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{{A.C}}{{B.D}}\)

+ Sử dụng kiến thức chia một phân thức cho một phân thức để tính: Nhân phân thức bị chia với nghịch đảo của phân thức chia: \(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{{A.D}}{{B.C}}\)

c) Sử dụng kiến thức giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến để tính giá trị phân thức: Muốn tính giá trị của một phân thức tại một giá trị đã cho của biến ta thay giá trị đã cho của biến vào phân thức đó rồi tính giá trị biểu thức số nhận được.

Lời giải chi tiết :

a) P xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\1 - {x^3} \ne 0\\x + 1 \ne 0\\2x + 1 \ne 0\\{x^2} + 2x + 1 \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\\x \ne \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)

b) \(P = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - {x^3}}}.\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right):\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\)

\(P = \left( {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}.\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right):\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(P = \left( {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}\)

\(P = \frac{{x + 1 + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

c) Thay \(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn) vào P ta có: \(P = \frac{{\frac{1}{2} + 1}}{{\frac{1}{2} - 1}} = - 3\)