Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). M là trung điểm của BC vẽ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E, AH vuông góc với BC tại H. Qua A kẻ đường thẳng song song với DH, cắt DE tại K, HK cắt  AC tại N. Chứng minh HN^2=AN nhân CN

Nhớ vẽ hình nha

Nhanh lên!! Cần gấp

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Gọi P là giao điểm của AK và EH.

      O là giao điểm của DE và AM.

      Q là giao điểm của EK và AH.

-Xét tứ giác AEMD có ∠EAD=∠ADM=∠AEM=90°(AB⊥AC, MD⊥AB, ME⊥AC)

  ⇒ tứ giác AEMD là hình chữ nhật ( tứ giác có 3 góc vuông ) 

  ⇒ ED = AM ( là hai đường chéo của hình chữ nhật).

      và  O là trung điêm của ED và AM

  ⇒ OE=OD=OM=OA .

- Xét ΔHAM vuông tại H có O là trung điểm cạnh huyền AM

  ⇒ OH=OM=OA ⇒ OH=OD=OE.

- Xét ΔDEH có O là trung điểm DE và OH=OD=OE

 ⇒ ΔDEH vuông tại H. ⇒ EH⊥DH . Mà AK//DH

 ⇒ AK⊥EH  tại P (1).

- Xét ΔABC có MD//AC ( do MD⊥AB, AC⊥AB) và M là trung điểm BC.

   ⇒ D là trung điểm AB hay MD là đường trung bình của ΔABC

 - Xét ΔHAB vuông tại H có D là trung điểm AB

 ⇒ DH=AD=AB.

- Do đó ta có OA=OH và DA=DH

  ⇒ OD là đường trung trực của đoạn thẳng AH 

   ( 2 điểm trên OD cách đều 2 đầu mút A và H của Ah)

 ⇒ OD⊥AH hay EK⊥AH tại Q      (2)

- Từ (1) và (2) ⇒ K là trực tâm của ΔAEH (giao điểm các đường cao trong Δ)

 ⇒ HK⊥AE tại N hay HN⊥AC.

- Áp dụng hệ thức lượng trong ΔHAC vuông tại H có đường cao HN, ta có:

  HN² = CN.AN 

( chưa học hệ thức lượng thì xét ΔCNH và ΔHNA đồng dạng rồi suy ra

  CN / HN = HN / AN ⇒ HN² = CN.AN nhóa)

      VOTE MÌNH 5 SAO, CẢM ƠN NỮA.ĐI NGỦ ĐÃ. MÊ KHTN.