Làm giúp em với ạ
em cảm ơn
làm kiến thức của lớp 10 thôi ạ (em mới học đầu lớp 10 thôi, cái hệ thức lượng trong tam giác ấy ạ)
BTVN thôi ạ

Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\\$ `a)` `cot A` `=` $\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{4S}$

$\\$ Áp dụng định lý cosin, ta có: `cos A` `=` $\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\\$ Ta có: `S =` $\dfrac{1}{2}$`bc. sin A` `=>` `sin A =` $\dfrac{2S}{bc}$

$\\$ Mà `cot A =` $\dfrac{cos A}{sin A}$ `=` $\dfrac{\dfrac{b^2 + c^2 -a^2}{2bc}}{\dfrac{2S}{bc}}$ `=` $\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{4S}$ (đpcm)

`b)` `cot A + cot B + cot C` $\geq$ `\sqrt{3}`

$\\$ Từ câu `a)`, ta CMTT nên có: 

$\\$ `cot B` `=` $\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}$; `cot C` `=` $\dfrac{a^2 + b^2-c^2}{4S}$

$\\$ Do đó: 

$\\$ `cot A + cot B + cot C` `=` $\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{4S}$ `+` $\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}$ `+` $\dfrac{a^2 + b^2-c^2}{4S}$ `=` $\dfrac{a^2 + b^2+c^2}{4S}$

$\\$ Theo công thức Heron thì: `S=` $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ `=>` `S` $\leq$ $\dfrac{p^2}{3\sqrt{3}}$

$\\$ Nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy, có:

$\\$ `(p-a)(p-b)(p-c)` $\leq$ `(\frac{3p - (a+b+c)}{3})^3` `=` `(\frac{p}{3})^3`

$\\$ Ta có: 

$\\$ `p^2 =` $\dfrac{(a+b+c)^3}{4}$ $\leq$ $\dfrac{3(a^2 + b^2 + c^2)}{4\sqrt{3}}$ `=>` `S` $\leq$ $\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{4\sqrt{3}}$

$\\$ Do đó: 

$\\$ `cot A + cot B + cot C` $\geq$ $\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{4\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{4\sqrt{3}}}$ $\geq$ `\sqrt{3}` (đpcm)

---------

$#HD247$
$#Maths$
_demikamy_

##KHÔNG HIỂU CỨ HỎI##