Làm giúp em với ạ
em cảm ơn
làm kiến thức của lớp 10 thôi ạ (em mới học đầu lớp 10 thôi, cái hệ thức lượng trong tam giác ấy ạ)
BTVN thôi ạ

Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\\$ Giả sử `p` `=` `(a+b+c)/2`, với `a,b,c` là độ dài 3 cạnh của tam giác nên `a,b,c > 0`

$\\$ Ta có: `S = pr`

$\\$ `S =` $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (Heron's formula)

$\\$ `=>` `pr` `=` $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\\$ `=>` `p^2r^2 =` `p(p-a)(p-b)(p-c)`

$\\$ `=>` `r^2 =` $\dfrac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p^2}$ 

$\\$ `=>` `r^2 =` $\dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$

$\\$ Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho 3 số dương `(p-a);` `(p-b);` `(p-c)`, ta có:

$\\$ `(p-a)(p-b)(p-c)` $\leq$ `(\frac{p-a+p-b+p-c}{3})^3` `=` `(\frac{3p - (a+b+c)}{3})^3` `=` `(\frac{p}{3})^3`

$\\$ `=>` $\dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$ $\leq$ $\dfrac{(\dfrac{p}{3})^3}{p}$ `=` $\dfrac{p^2}{27}$ 

$\\$ `=>` `36r^2` $\leq$ $\dfrac{36p^2}{27}$ `=` $\dfrac{4p^2}{3}$ `=` $\dfrac{(2p)^2}{3}$

$\\$ Ta có: `(2p)^2` `=` `(a+b+c)^2` `=` `a^2 + b^2+c^2+2ab+2bc+2ca`

$\\$ Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho 3 số dương `a,b,c`, ta có:

$\\$ `2ab` $\leq$  `a^2 + b^2`;  `2bc` $\leq$ ` b^2+c^2`;  `2ca` $\leq$ `a^2 +c^2`

$\\$ `=>` `(a+b+c)^2` $\leq$ `3(a^2 + b^2+c^2)`

$\\$ `=>` $\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$ $\leq$ `(a^2 + b^2+c^2)`

$\\$ `=>` `36r^2` $\leq$ `(a^2 + b^2+c^2)` 

$\\$ Dấu `"="` xảy ra `<=>` `a=b=c`, hay `\triangleABC` đều.

$\\$ Vậy  `\triangleABC` đều `<=>` `(a^2 + b^2+c^2)` `=` `36r^2.`

---------
$#HD247$
$#Math$
_demikamy_
##KHÔNG HIỂU CỨ HỎI##