Cho tam giác ABC vuông tại A  ( AB < AC ), đường phân giác BD ( B thuộc AC )

Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA 

a. Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBD và BD là đường trung trực của AE 

b. Kẻ AK vuông góc BC ( K thuộc BC ). Chứn minh rằng AE là phân giác của KAC

c. Gọi F là giao điểm của AK và BD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC , cắt EF tại G. Chứng minh rằng EF // AC và AE , BD , GC đồng quy

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABD, \Delta EBD$ có:

Chung $BD$

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$

$BA=BE$

$\to \Delta ABD=\Delta EBD(c.g.c)$

$\to DA=DE, BA=BE$

$\to B, D\in$ trung trực $AE$

$\to BD$ là trung trực $AE$

b.Từ a $\to \widehat{BED}=\widehat{BAD}=90^o$

$\to DE\perp BC$

Mà $AK\perp BC$

$\to AK//DE$

Ta có: $DA=DE\to \Delta ADE$ cân tại $D$

$\to \widehat{DAE}=\widehat{DEA}$

$\to \widehat{EAK}=\widehat{AED}=\widehat{DAE}$

$\to AE$ là phân giác $\widehat{KAC}$

c.Vì $BD$ là trung trực $AE$

$\to BD\perp AE$

$\to BF\perp AE$

Mà $AK\perp BC\to AF\perp EB$

$\to F$ là trực tâm $\Delta ABE$

$\to EF\perp AB$

Do $AB\perp AC$

$\to EF//AC$

Gọi $BD\cap AE=H$

$\to H$ là trung điểm $AE\to HA=HE$

Ta có: $EG//ACC, AG//EC$

$\to AG=EC, EG=AC$ (tính chất đoạn chắn)

Xét $\Delta HAG, \Delta HEC$ có:

$AH=HE$

$\widehat{HAG}=\widehat{HEC}$

$AG=CE$

$\to \Delta HAG=\Delta HEC(c.g.c)$

$\to \widehat{AHG}=\widehat{EHC}$

$\to G, H, C$ thẳng hàng

$\to CG, AE, BD$ đồng quy tại $H$