cho số nguyên dương `n` không chia hết cho `2` và `5`. Chứng minh rằng `n^4-1` chia hết cho `40`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`n^4 - 1`

`= ( n^2 - 1 )( n^2 + 1 )`

`= ( n - 1 )( n + 1 )( n^2 - 4 + 5 )`

`= ( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) + 5( n - 1 )( n + 1 )`

`= ( n^2 - 1 )( n^2 - 4 ) + 5( n^2 - 1 )  ( 1 )`

`Do  n` không chia hết cho `2 => n` lẻ 

`=> ( n - 1 )( n + 1 )` là tích `2` số chẵn liên tiếp

`=> ( n - 1 )( n + 1 )  \vdots  8`

`=> ( n^2 - 1 )  \vdots  8  ( 2 )`

`=> 5( n^2 - 1 )  \vdots  40  ( 3 )`

`Do  n` không chia hết cho `5`

`=> n^2` chia `5` dư `1` hoặc `n^2` chia `5` dư `4`

`=> ( n^2 - 1 )( n^2 - 4 )  \vdots  5  ( 4 )`

` Mà  ( 5 ; 8 ) = 1  và  5 . 8 = 40  ( 5 )`

`( 2 ) ; ( 4 ) ; ( 5 ) => ( n^2 - 1 )( n^2 - 4 )  \vdots  40  ( 6 )`

`( 1 ) ; ( 3 ) ; ( 6 ) => n^4 - 1  \vdots  40` ( đpcm )

Giải thích các bước giải: