Giup e vôi aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Ta có:

$ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=a+b+c$

$⇔a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+c^2a-ca^2=a+b+c$

$⇔ (a^2b-bc^2)-(ab^2-b^2c)-(ca^2-c^2a)=a+b+c$

$⇔ b(a-c)(a+c)-b^2(a-c)-ca(a-c)=a+b+c$

$⇔ (a-c)(ab+bc-b^2-ca)=a+b+c$

$⇔ (a-c)[(ab-ca)-(b^2-bc)]=a+b+c$

$⇔ (a-c)[a(b-c)-b(b-c)]=a+b+c$

$⇔ (a-c)(b-c)(a-b)=a+b+c$

$TH_1: a, b, c$ có các số dư khác nhau khi chia cho $3$

Suy ra $a+b+c$ chia hết cho $3$ trong khi đó $(a-b)(b-c)(a-c)$ không chia hết cho $3$ (do cả $3$ số ta đã giả sử không có $2$ số nào có cùng số dư)

$TH_2: a, b, c$ đều có cùng số dư khi chia $3$ thì bài toán được chứng minh vì khi đó $(a-b)(b-c)(a-c)$ chia hết cho $27$ suy ra $a+b+c$ chia hết cho $27$ (đpcm)

$TH_3: a, b, c$ chỉ tồn tại duy nhất $1$ cặp có cùng số dư chia cho $3$ (vì nếu tồn tại $2$ cặp thì $3$ số sẽ cùng số dư quay về $TH_2$)

$(*)$ Suy ra $a+b+c$ không chia hết cho $3$ suy ra vô lý vì $(a-b)(b-c)(a-c)$ có một số chia hết cho $3$

(do $(*)$) Vậy chỉ có $TH_2$ được nhận hay $a+b+c$ chia hết cho $27$

#tuan789